Media, Varianzas, Covarianzas y Correlaciones.

    En este documento se proporcionan algunas demostraciones de equivalencias útiles usadas en estadísticas.

    Pruebe que,

1. 
2. 
3. 
4. con conocido
5. dado que   y que 

Solución 1.

El ejercicio del numeral 1 indica que lo cual simplemente es la forma práctica de calcular la varianza, y su demostración es la siguiente:

 

                  

                 

                 

 

Solución 2.

esto es muy parecido al ejercicio 1, se trata de llegar a la forma práctica de cálculo de la covarianza entre dos variables aleatorias a partir de su definición teórica.

                          

                          

                          

  

 Solución 3.

    El ejercicio del numeral 3 indica simplemente que el estimador de la media de una variable aleatoria será un estimador insesgado del verdadero promedio, es decir, , cuya demostración es:

  haciendo y sustituyendo en , se tiene para demostrar esto simplemente se opera esta última expresión 

acá se aplica la propiedad que dice el valor esperado de la suma es la suma de valores esperados.

se aplica que la sumatoria de una constante, es veces esa constante

   

  Solución 4.
Cuando es conocido se puede demostar que el estimador de la varianza es también un estimador insesgado,

               

              

 

Solución 5.

 Este se trata de demostar que la quasi-varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza. Esto es con la correspondiente corrección por grados de libertad en el denominador () se logra estimar la varianza muestral de manera insesgada.

considerando que y que

              


              


             


             


             

 

Pasando al ámbito matricial, que es el más frecuentemente utilizado en estadísticas, podemos encontrar con frecuencia formas como las siguientes:

Sea la matriz de varianzas y covarianzas , con elementos como su elemento, a esta matriz se le suele llamar, por simplicidad, matriz de covarianzas de Esta matriz a veces es denotada como o . Claramente de manera que es simétrica. Considerando esto demuestre que

     

     

     


    
  

Si es un vector de constantes de dimensión y que es una variable aleatoria definida de la siguiente manera , determine

Si adicionalmente, consideramos que es otro vector de constantes de dimensión y que demuestre que

                  

                  

                  

  

Considere ahora que es una matriz de constates de dimensión y que , demuestre que y que

  

               

               

               

               

  

Si y son vectores aleatorios, entonces la matriz de covarianzas entre los componentes de y está dada por , compruebe que esto es cierto.

                     

                     

                    

  

y si y indique qué forma tendrá la covarianza entre y .

                    

                     

                    

Se pudo haber calculado de una forma más directa, así

Aprovechando que se ha discutido y ejemplificado mucho con las covarianzas podemos introducir ahora la correlación, que como es sabido es una medida de relación lineal que no está afectada por las unidades de medida en que están expresas las variables, por ejemplo, y , para éstas el coeficiente de correlación será y está definido por

Cuando . La matriz de correlaciones que tiene a como su ésimo elemento, puede ser expresada en términos de la correspondiente matriz de covarianzas y de la matriz diagonal específicamente,

Para cualquier vector con dimensión tenemos

Donde y además debe ser definida no negativa porque lo es. En particular, si es la ésima columna de una matriz identidad se puede demostar que está acotado en el intervalo . Véase a continuación,

                                        porque y
                                           esto es porque   

                                       

                                       

De lo anterior se obtienen las siguientes ecuaciones:

  y    despejando se llega a lo siguiente:

  y    de lo que se deduce que

Referencias
Schott, James (2005). Matrix Analysis for Statistics. Wiley. 456 p,Second Edition, New Jersey.

A.Novales(1996). Estadística y Econometría.637 p., McGraw-Hill, Madrid

Jilber Urbina. 

 2011