Ejemplo: Modelo de Vector Autorregresivo (VAR)

Modelos Vectoriales Autorregresivos (VAR)


Solución Ejercicio 12  del escrito de Alfonso Novales

En la web está disponible un capítulo sobre Modelos Vectoriales Autorregresivos (VAR) del profesor Alfonso Novales, para acceder a ese documento haga clic aquí, en el cual se expone la naturaleza de los VAR de una manera muy sencilla, intuitiva y con una matemática muy amigable. Al final de este escrito se encuentra propuesto un ejercicio cuya solución se presenta a continuación

Ejercicio
Considere el modelo estructural recursivo,

donde afecta a sólo con cierto retraso. Note que este modelo permite identificar el término de error a partir de las observaciones de la variable . Pruebe que este modelo está exactamente identificado, en el sentido de que todos sus coeficientes, así como las varianzas de los dos términos de error pudeen recuperarse a partir de la estimación del modelo VAR(1) en estas dos variables. (las soluciones son)

Sistema que puede resolverse para obtener los 9 parámetros del modelo estructural recursivo.
Muestre que en este modelo, no sólo se pueden recuperar estimaciones de todos los parámetros que aparecen en el modelo estructural, sino también las series temporales de los términos de error y .

Solución 

             





 


Esto se escribe de forma más compacta como,


  Esta es la forma estándar del VAR en forma reducida.
donde y

Desarrollando estas operaciones se tiene,

Desarrollando este producto de matrices y teniendo en cuenta que y haciendo con tenemos



De manera que el VAR de forma reducida se puede escribir de la siguiente forma:





O de forma más compacta se puede reescribir así





con las siguientes varianzas y covarianzas







Estimando esas ecuaciones del VAR de forma reducida se pueden recuperar todos los parámetros del VAR estructural subyacente, con lo cual este modelo estructural está exactamente identificado con la imposición de una única restricción (cumpliendo la condición de que el número de restricciones necesarias para identificar exactamente un modelo es donde es el número de variables).Y de esta manera queda resuelto el Ejercicio.

Referencia

Novales Alfonso (2003). Modelos Vectoriales Autorregresivos (VAR). Universidad Complutense. Notas de Clases


Erratas en el documento en cuestión de Novales Alfonso (2003).
    Página 1
    1. Sustitúyase la palabra autoregresivo por autorregresivo.
    2. segunda línea, léase:
          "...las interacciones simultáneas entre un grupo de variables."


    Página 2
    3. Primer párrafo, línea 4, léase:
        "estructural del modelo, no se incurre en los errores..."
   4. Segundo párrafo, línea 3, léase:
       " … de todas las variables aparecen como..."
   
    Página 5
    5. Penúltimo párrafo, línea 4: sustitúyase 11 por 10 y 3 por 2; y léase:
      "..., el modelo estructural consta de 10 parámatros: las dos constantes, los 6 coeficientes y los 2  parámetros de la matriz de covarianzas del vector " 

    Esto es debido a que por construcción los errores de un modelo estructural están incorrelados, con lo cual   por tanto sólo se tendrán 2 parámetros en la matriz de covarianzas, porque la covarianza será siempre cero.


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                                                              Jilber Urbina