Valor en Riesgo¶
Riesgos¶
Para hablar del valor en riesgo (Value at Risk, VaR por sus siglas en inglés) es necesario, primero hablar de los riesgos, o más específicamente de qué es riesgo. Para ello definiremos riesgo, en términos generales, como la posibilidad de que ocurra un evento y que sus consecuencias generen pérdidas.
Independientemente del contexto, el riesgo está fuertemente relacionado con la incertidumbre y, por lo tanto, con la aleatoriedad (McNeil et al., 2005). En el sector bancario, el tipo de riesgo más conocido es el riesgo de mercado, es decir, el riesgo de un cambio en el valor de la posición financiera debido a cambios en el valor de los componentes subyacentes de los que dicha posición depende, tales como acciones, precios de bonos, tipo de cambio, precio de materias primas, entre otros.
Otro riesgo muy común y, por tanto, muy conocido es el riesgo de crédito, este corresponde al riesgo de no recibir los pagos prometidos sobre inversiones tales como préstamos y bonos debido a la probabilidad de incumplimiento del prestatario.
Otra categorı́a de riesgo que recientemente ha captado mucho la atención es el riesgo operativo (McNeil et al., 2005), es decir, la posibilidad de que eventos inesperados ocurran como consecuencia de alteraciones en el normal funcionamiento de los procesos internos, personas y sistemas, o incluso, eventos externos (Bolancé et al., 2012).
Ası́, el riesgo es una probabilidad, como tal requiere de la formalización estadı́stica para su medición. Además de evitar pérdidas ¿Por qué es importante medir/cuantificar el riesgo? Pues es fundamental, entre otras cosas, para:
- Determinación de capital de riesgo y adecuación de capital
- Herramienta de administración
- Primas de seguros
- Regulación
Teniendo claro (eso espero) qué es riesgo, la pregunta natural sería ¿Cómo se mide el riesgo? Para ser honesto existen diversas maneras, pero en esta ocasión les voy a hablar de una en particular: el VaR.
Valor en Riesgo: VaR¶
El VaR es probablemente la medida de riesgo más extensamente utilizada por las instituciones financieras. Su popularidad se debe a varias razones, entre ellas:
- Es la medida propuesta en Basilea II en el contexto de adecuación de capital.
- Es muy fácil de calcular.
- Su interpretación es intuitiva y contundente.
El VaR se ha convertido en la herramienta estándar a nivel internacional utilizada, tanto por las instituciones financieras, como por los reguladores para cuantificar riesgos y determinar los requerimientos de capital. La popularidad del VaR se debe a su fácil implementación y a la intuitiva interpretación de su resultado, sin mencionar que el Comité de Basilea lo ha incluido como herramienta estándar en las normas sobre adecuación de capital (BCN, 2014). Ok, bla bla bla, entonces ¿Qué mide el VaR? precisamente este señor cuantifica el monto (o porcentaje según, sea la unidad de medida) de la pérdida máxima esperada con base en un nivel de probabilidad de ocurrencia. Si nos ponemos exquisitos diríamos que el VaR es la inversa de la función de distribución de pérdidas a un nivel de significancia dado, más sencillo, pero con la misma exquisitez, el VaR es simplemente el cuantil dada la probabilidad de pérdida.
Para definir formalmente al VaR nos basaremos en la belleza de las matemáticas, ya que ésta no da pie a ambigüedades, por tanto, el VaR se define así:
Defnición 1¶
Para un nivel dado de probabilidad $p \in (0,1)$, siguiendo a (Dhaene et. al., 2012), denotaremos al VaR de la variable aleatoria $X$ como $F_{X}^{-1}(p)$. Así el VaR está definido como:
$F_{X}^{-1}(p) = \inf \lbrace x \in \mathbb{R} \mid F_{X}(x) \geq p \rbrace$ con $ p \in (0,1)$
En términos probabilísticos, el VaR, es simplmente el cuantil de la distribución de pérdidas. Los valores típicos para $ p $ son $p=0.95$ o $p=0.99$ (McNeil et. al.,2005).
Artzner et al. (1999) propuso una serie de cinco axiomas para que una medida de riesgo sea coeherente, en este post solo listaré dichos axiomas, ya que detalles de ellos puede encontarlos en Artzner et al. (1999), McNeil et al. (2005) y Urbina (2013), entonces los axiomas son, sin ahondar en tecnicismos:
- Ley de invarianza, si la probalidad de que ocurra $X_1$ es igual a la probailidad de ocurrencia de $X_2$, entonces ambos tendrán el mismo valor para cualquier medida de riesgo que se seleccione, en nuestro caso, tendrían igual VaR.
- Subaditividad, sin pérdida de generalidad y sin extra complicaciones, supongamos que tenemos una medida de riesgo completa y correctamente definida como plantean Artzner et al. (1999), McNeil et al. (2005) y Urbina (2013) y la llamamos $\rho$, en nuestro caso $\rho = VaR$. La subaditividad establece que la diversificación no debería agregar más riesgo, al concontrario, debería disminuirlo, así la subaditividad dice que si tenemos dos vectores de riesgos $X_1, X_2$, entonces, $\rho(X_1+X_2) \leq \rho(X_1) +\rho(X_2)$.
- Homogeneidad positiva, implica que tenemos lo siguiente, $a > 0, \rho[aX] = a\rho[X]$, decir, para cualquier valor constante positivo $a$ el valor de la medida de riesgo es igual si primero multiplicamos $X$ por $a$ y luego, al resultado aplicamos la medida de riesgo, lo mismo daría como resultado si primero aplicamos la medida de riesgo y luego multplicamos por $a$, ya que, en términos simples, $a$ actúa como un valor común. Un caso práctico en Nicaragua, sería cuado dolarizamos saldos en córdobas usando un tipo de cambio promedio o el de fin de mes y luego tomaríamos el VaR, entonces la homogeneidad positiva se mantiene.
- Monotonicidad, según el tecnicismo esto equivale a postular lo siguiente: para cualquier $X_1$ y $X_2 \in \Gamma, X_1 \leq X_2$, implica que $\rho(X_1) \leq \rho(X_2)$, es decir, que si, en general $X_1 \leq X_2$, entonces, al aplicar cualquier medida de riesgo $\rho$, se debe mantener la misma desigualdad.
- Invarianza de traslación, implica que al tener un valor constante que se le sume o se le substraiga al vector de pérdidas y ganancias, da igual si se hace antes de aplicar la medida de riesgo o después, es decir, para cualquier $X_1$ y $X_2 \in \Gamma$ y $b \in R, \rho(X+b) = \rho(X)+b$.
VaR normal y VaR t-student¶
Ahora que ha quedado claro y hemos entendido qué es el VaR - ojalá así sea llegado hasta este punto - es hora de mostrar formas funcionales explícitas para las dos formas más comunes del VaR: el normal y el t-student, claramente, el lector sabrá que la función de distribución de probabilidades $F_{X}(x)$ de la Definición 1 puede ser reemplazada por cualquier tipo de distribución y así obtener formas funcionales del VaR, en este caso, veremos la del VaR basado en una $F_{X}(x)$ normal y la de aquél basado en una t-student (esta sección la puede encontrar con mayores detalles en McNeil et al., 2005, p.39-40).
Supongamos que $F_{X}(x)$ es la función de distribución acumulada de las pérdidas y que ésta además es normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, fijemos $p \in (0,1)$, entonces, con estos supuestos ($X \sim N(\mu, \sigma^2)$) el VaR normal tiene la siguiente forma:
$VaR_p = \mu + \sigma \Phi^{-1} (p),$
donde $\Phi^{-1}(p)$ denota el p-ésimo cuantil de función de distribución normal estándar $\Phi$ y $\sigma$ es la raíz cuadrada positiva de la varianza que denota la desviación estándar.
Supongamos ahora que nuestro vector de pérdidas es tal que $(X-\mu)/\sigma$ sigue una distribución t-student estándar con $\nu$ grados de libertad, lo cual denotaremos $X \sim t(\nu, \mu, \sigma^2)$, siempre que $\nu>2$, el VaR t-student está definido como sigue:
$VaR_p = \mu + \sigma t_\nu^{-1} (p),$
donde $t_\nu^{-1} (p)$ denota el p-ésimo cuantil de una distribución t-student estándard con $\nu$ grados de libertad.
Estimación del VaR¶
Luego de tanto bla bla teórico, llegó la hora de estimar, finalmente, el VaR para cierto vector de pérdidas o para un valor concreto. Para ello utilizaremos algunos ejemplos de libros y de la web, el sotware para la estimación será R apoyado del paquete OCA (Optimal Capital Allocations de Urbina, 2013). Así, antes de los ejemplos, debemos preprar R para las estimaciones, para lo cual instalaremos el paquete OCA, lo activamos y vamos a utilizar la función VaR para la estimación del VaR normal o t-student. El enfoque de estimación que se presentará en los ejemplos corresponde al enfoque analítico basado en varianzas y covarianzas. Dado que se tratará de valores escalares que resumen a un único vector de pérdida, sólo será relevante la varianza.
#Las siguientes instrucciones instala y activa OCA
#install.packages("OCA", repos='http://cran.us.r-project.org')
library(OCA)
Ahora sí vamos a los ejemplos
Ejemplo 1¶
Este ejemplo es tomado de McNeil et al. (2005), correponde al ejemplo 2.21 de la página 46, para facilitar la lectura, se reproduce parcialemente el enunciado del ejercicio:
Consideramos pérdidas diarias en un posición en una acción en particular; el valor actual de la posición es igual a $V = 10,000$... asumamos que el vector de pérdidas tiene media 0 y una desviación estándard $\sigma = 0.2/\sqrt{250}$ sobre el suspuesto que la acción tiene una volatilidad anualizada del $20\%$. Obtenga los resultados para dos tipos de modelos:
- a) VaR normal
- b) VaR t-student con 4 grados de libertad
- c) Compare ambos resultados utilizando los siguientes intervalos de confianza: 90, 95, 97.5, 99 y 99.5%.
El objetivo es reproducir la tabla 2.1 de la página 47 del libro, lo cual logramos con la siguiente instrucción en R.
alpha <- c(.90, .95, .975, .99, .995)
round(VaR(variance=(0.2/sqrt(250))^2, alpha=alpha, model='both', df=4) * 10000, 1)
# alternativamente
#VaR( variance=(10000*0.2/sqrt(250))^2, alpha=alpha, model='both', df=4)
Ejemplo 2¶
Este ejemplo es tomado de la siguiente web: https://www.investopedia.com/articles/04/092904.asp, véase el acápite "2. The Variance-Covariance Method", los datos que nos brinda el ejercicio son los siguientes:
- retorno: $0
- desviación: 2.64
- alpha: 0.95 y 0.99
Resolviendo en R, tenemos:
-round(VaR(variance=(2.64)^2, alpha=c(.95,.99), percentage = TRUE), 2) # diferencias en decimales se deben al redondeo del ejemplo
Ejemplo 3¶
Tomado de https://www.blackwellpublishing.com/content/bpl_images/content_store/sample_chapter/9780631227090/Allen_C01.pdf, véase la páginas 6 y 7.
# estos corresponden a los alphas del libro
# 0.1%, 0.5%, 1%, 2.5%, 5%, 10%
# como están en porcentajes los convertimos a un vector numérico apropiado
alphas <- c(0.1, 0.5, 1, 2.5, 5, 10 )/100
VaR(variance=1, alpha=alphas, percentage =TRUE)*(1000000/100) # el valor del activo divide entre 100, porque los resultados del VaR ya están expresados en %.
# Diferencias se deben a redondeo
Conclusión¶
Tal como se presentó, el VaR es una medida de riesgo sencilla, pero potente para valoración de riesgos, si bien, los fundamentos estadísticos de ésta pareciesen densos, en realidad, es una medida muy fácil de comprender.
En general, el VaR es una medida coherente, por tanto, esto la hace popular entre las medidas de riesgos, no obstante, en ciertas condiciones, el VaR viola la subaditividad y esto da pie a que no sea una medida coherente, sin embargo, esto se corrige fácilmente con el VaR condicional, el cual será tema para otro post.
El VaR, por su sencillez puede ser implementado en cualquier software, en esta ocasión, los ejemplos fueron presentados usando R a través de la función VaR, que consta de otros argumentos que acá se omitieron por no ser objeto de interés de este post.
El enfoque aquí presentado corresponde al enfoque analítico de varianza-covarianzas.
Referencias¶
Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., and Heath, D. (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, 9(3):203–228
Dhaene, J., Tsanakas, A., Valdez, E. A., and Vanduffel, S. (2012). Optimal Capital Allocation Principles. Journal of Risk and Insurance, 79(1):1–28.
McNeil et. al,. (2005). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools. Princeton University Press.
Urbina, J. (2013) Quantifying Optimal Capital Allocation Principles based on Risk Measures. Master Thesis, Universitat Politècnica de Catalunya. http://hdl.handle.net/2099.1/19443
