Estimadores MCO, derivación

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) es quizás la técnica más utilizada en todo el ámbito econométrico, y esta se basa en minimizar una función objetivo a través de la estimación de los estimadores óptimos para este propósito.

Se sabe que el procedimiento de MCO es un procedimiento con el cual se trata de ajustar una línea de regresión sobre un conjunto de puntos que presentan un patrón de comportamiento específico, sea creciente o decreciente, la regresión que se obtiene a partir de MCO es tal que minimice la sumatoria de los residuales al cuadrado de la regresión, de eso se deduce que los residuos es una función de los estimadores,, donde es el residual, es el estimador del intercepto y , es el estimador de pendiente.

La línea recta que debe pasar por los puntos medios de la variable dependiente como de la variable independiente tiene la forma siguiente:

                                   Ecuación 1

Pero dado que se tiene que estimar, entonces la ecuación 1, se debe reescribir en su versión muestral y se obtiene:



Para obtener la forma de los estimadores y primero tenemos que designar las observaciones muestrales por





De manera más compacta se puede escribir

Diferentes pares de valores de y darán diferentes líneas y, en consecuencia, valores diferentes para la suma de los cuadrados de los residuos respecto a la línea. Así tendremos:



Como se ha señalado anteriormente, el principio del método MCO es que los valores y deberán escogerse de tal forma que hagan a lo más pequeña posible. Una condición necesaria es que es que las condiciones de primer orden con respecto a y deberán ser iguales a cero. Podremos escribir por lo tanto,



de modo que





Simplificando estas dos ecuaciones se obtiene el sistema clásico de ecuaciones normales para una línea recta:

   Ecuación 2

   Ecuación 3

Con los valores conocidos de las observaciones muestrales se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas (dos ecuaciones y dos variables) que pude resolverse con respecto a y

Por otra parte, si se divide la primera de las ecuaciones por , obtendremos:



    Esta última ecuación confirma el hecho de que la estimación de la línea de regresión por el método MCO pasa por el punto cuyas coordenadas son las medias

De esta misma se puede obtener el valor de

   Ecuación 4

Si a los valores estimados de se les sustraen los valores medios de se tiene:





Recordando la convención de representar las desviaciones por letras minúsculas, la última ecuación se puede escribir de la siguiente manera:



Recordando que los residuos se expresan de la siguiente manera;



De forma que la suma de los cuadrados de los residuos es



Minimizando esta última expresión y resolviendo con respecto a se tiene



   Ecuación 5

y vemos también que



que es positiva, lo que se trata de un mínimo.

El resultado de la ecuación de puede también obtenerse simplemente escribiendo de nuevo la ecuación 3 en forma de desviaciones y recordando que para cualquier variable la suma de las desviaciones a la media es cero. Es decir,







Como ejemplo de cálculo de la regresión basada en MCO, consideremos los datos de la tabla siguiente

año (1)	accidentes de carretera (en miles) Y (2)	vehículos matriculados X (3)	(4)	(5)
1947	166	352	-51.8	-167.2
1948	153	373	-64.8	-146.2
1949	177	411	-40.8	-108.2
1950	201	441	-16.8	-78.2
1951	216	462	-1.8	-57.2
1952	208	490	-9.8	-29.2
1953	227	529	9.2	9.8
1954	238	577	20.2	57.8
1955	268	641	50.2	121.8
1956	268	692	50.2	172.8
1957	274	743	56.2	223.8

Fuente: Oxford P.P.E, Johnson. Métodos de Econometría.

De las columnas 2 y 3 calculamos las siguientes cantidades exigidas por las ecuaciones 2 y 3.

                                 

                 

Sustituyendo en ecuación 2 y 3 se obtiene:

       



Sistema que resuelto da:


                         

y la relación estimada se puede escribir



Como método alternativo calculamos las desviaciones a la media aritmética en las columnas 4 y 5 y, luego, de la Ecuación 4 y 5 obtenemos como antes







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Jilber Urbina